线性方程组

定理——三角化

任何线性方程组可通过变换化为以下形式

$$\left\{ \begin{array}{r} a_{1p_1}x_{p_1} + a_{1p_2}x_{p_2} + a_{1p_3}x_{p_3} +\cdots + a_{1n}x_n = b_1 \\ a_{2p_2}x_{p_2} + a_{2p_3}x_{p_3}+ \cdots +a_{2n}x_n = b_2 \\ \cdots\\ a_{rp_r}x_{p_r} + a_{rn}x_n = b_r\\ 0 = b_{r+1}\\ \cdots\\ 0 = b_m \end{array} \right.$$

其中$0 \le r \le \min{m,n}$,$1 \le p_1 \lt p_2 \lt \cdots \lt p_r \le n$并且每个式子第一项非零。

上述定理说明方程式组可以化为上三角的形式。在上述式子中，$p_1 \cdots p_n$代表的是在对未知量x编号后（给定了一定的顺序），存在非零系数x的位置。

比如首先考虑原始方程组中第一个p使得$a_{ip}$不为0，记录这个p为$p_1$，并且把这个式子移动到第一行。此后把其他式子的p项都打为0（p项之前都已经是0了）。把编号为p的那一列忽略掉，得到了更小的不含$x_p$的一个子方程组。如上操作产生$p_2 \ p_3 \ \cdot \ p_n$

如果原来的方程组有“线性相关”的式子，则这一个式子直接被干为0，得到下方的$b_{r+k} = 0$项。有的时候可能线性相关的式子太多了，把下面很多式子都消掉而导致式子不足从而出现了第r行这样的情况。没有把式子消完与多出来0 = b项这两种情况并不冲突(更正一下之前的误解)

为什么最后总是n而不可能在n之前就结束了无论我怎么去约化，我永远是从左往右去删除的，编号在$p_r$之后的项无论怎么样都是我没有更改的，因而这些项始终是连号的而且一直到n。

定理——有解

方程有解等价于上述形式的式子中 $b_{r+k} = 0$
有唯一解 $\Leftrightarrow$ 有解 + r=n

把多余的项看作变量即可，然后消元

习题 1.2.4 空间外接圆

三个点再补一个点（随便）构成一个球，用过那三个点的平面去截取球得到其外接圆

习题 1.2.5 and 1.2.6 求给定条件下的多项式

两道题都是给出了函数的值点或者导函数的值点，因而考虑先用Lagrange插值给出特解$f_1$然后设任意解$f_2$，作差，得到差多项式的根的信息，然后作出通解。

矩阵运算

定义Hermite

$$A^H = \overline{A^T} = \overline{A}^T$$

矩阵的用处

复数

$$a+ bi \mapsto \begin{pmatrix} a&b \\ -b &a \end{pmatrix} \in \mathbb{R}^{2 \times 2}$$

四元数

$$a_0 + a_1i + a_2j + a_3 k \mapsto \begin{pmatrix} a_0+a_1i & a_2 + a_3i \\ -a_2 + a_3i & a_0-a_1i \end{pmatrix} \in \mathbb{C}^{2\times 2}$$

图

图G=（V,E）,V为顶点集，E为边集
邻接矩阵：

$$A = (a_{ij}) \qquad a_{ij} = \begin{cases} 1 \ i与j有路\\ 0 \ i与j无路径 \end{cases}$$

关联矩阵

$$B = (b_{ij}) \qquad b_{ij} = \begin{cases} 1 \quad v_i是e_i的端点\\ 0 \quad v_i不是e_i的端点 \end{cases}$$

关联矩阵与邻接矩阵的联系：

$$B^TB = D + A，\quad D = diag(d_1,d_2,\cdots,d_n)$$

其中D称为图G的度矩阵

有限射影平面

V,E为有限集。$\pi = (V,E)$称为有限射影平面即满足：

• 对于任意两线e，f,存在唯一的点v使得v在e，f上
• 对于任意两点u，v存在唯一的线e使得u，v在e上
• 存在四点abcd使得{a,b,c,d}对任意边都至多有两个公共点 （可以找得到不共线的四个点）
  其关联矩阵$A_{m\times n}$有： $$AA^T = \begin{bmatrix} \lambda & 1& \cdots & 1 \\ 1& \lambda& \cdots & 1 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 1& 1& \cdots & \lambda \end{bmatrix} \ A^TA = \begin{bmatrix} \lambda & 1& \cdots & 1 \\ 1& \lambda& \cdots & 1 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 1& 1& \cdots & \lambda \end{bmatrix} \qquad m = n = \lambda^2-\lambda +1$$

运算性质：

• 分块性质

$$A\begin{pmatrix} \beta_1 & \cdots & \beta_n \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} A\beta_1 & \cdots & A\beta_n \end{pmatrix}$$ $$\begin{pmatrix} \alpha_1 \\ \vdots \\ \alpha_n \end{pmatrix}B= \begin{pmatrix} \alpha_1B \\ \vdots \\ \alpha_nB \end{pmatrix}$$

• 结合律
• 分配律
• 转置$(AB)^T = B^TA^T$
• 迹可换顺序 $tr(AB) = tr(BA)$

线性递推

n阶线性递推，则构造包含n项的向量，通过一个矩阵变换相链接

对称方阵的产生

• 如果B是对称方阵，则$ABA^T$对称方阵
• 如果B是反对称方阵，则$ABA^T$反对称方阵

习题2.1.6，矩阵的开方

把矩阵看作一个变换，推导出单次变换的表达。也可以考把矩阵表达成$PAP^{-1}$的形式。
求解正交阵方根的一般方法

1. 正交阵均可以看作围绕一个过原点的定轴的转动
2. 转轴为不动点集合，即$Mx = \lambda x$（特征向量），由于特征值为1，这里直接可以当作求解不动点。如果无法直接看出转动角度，则可以通过计算不在转轴上的一点与其像点以及转轴上一点构成的垂面上等腰三角形的顶角大小
3. 转轴的单位方向向量取出来记为$\alpha$，在其垂面上同样选取两个正交的单位向量$\beta ,\gamma$作为基。三个向量构成了单位正交基。通过基的变换从而计算得到原始向量得变换
4. 通过点乘对应得基底变换到新的系下，再在新的坐标系下变换，最后通过数乘返回原来坐标中 $$A = \begin{pmatrix} \alpha & \beta &\gamma \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1&\mathbf{0}\\ \mathbf{0}& R_{Rotate}(\theta) \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \alpha\\\beta\\\gamma \end{pmatrix}$$

习题2.1.9的结论

• 与任意n阶对称方阵乘积可交换的矩阵为纯量阵
• 与任意n阶反对称方阵乘积可交换的矩阵为纯量阵

习题2.1.11的结论（A、B为复数矩阵）

• $$tr(AA^H)tr(BB^H) \ge tr(AB^H)tr(A^HB)\ge 0$$
• $$tr(AA^H) = 0 \Rightarrow A=\mathbf{0}$$

习题2.1.12的结论

上三角的乘积是上三角，上三角的多项式也是上三角。下三角亦同

习题2.1.13结论

A,B为可微函数构成的矩阵，则

$$\frac{\mathbf{d}(AB)}{\mathbf{d}x} = A'B+AB'$$

矩阵分块后的计算性质

如果$A_{m\times n} \ B_{n\times p}$ 则其乘积的子矩阵可以表示为：

$$AB\begin{bmatrix} i_1 & \cdots & i_k \\ j_1 & \cdots &j_l \end{bmatrix}=A \begin{bmatrix} i_1 & \cdots & i_k \\ 1 & \cdots & n \end{bmatrix}B \begin{bmatrix} 1 & \cdots & n \\ j_1 & \cdots & j_l \end{bmatrix}$$

即前面的矩阵选某些行，后面的矩阵选某些列

定义——子矩阵

已知$A, \ I=(i_1,\cdots ,i_r)$是{1，2,…，m}的一个排列，J为{1，…，n}排列，则A[I,J]为A的一个子矩阵。
如果I= J则为主子矩阵
如果I=(1,2,3,…,k)=J,则为第k个顺序主子阵

张量积

A是mn的矩阵，B是pq的矩阵，则

$$A\otimes B = (a_{ij}B)$$

为mp*nq的矩阵(相当于把B“嵌入A中”)。由于张量积的定义方式仅仅是把一个东西嵌入进去，因而对运算性质的影响不是很大。张量积的运算性质有:

• 对应分量相乘$(A\otimes B)(C \otimes D ) = AB \otimes CD$
• 分配律（对A的对B的都有）
• 不变顺序的转置$(A\otimes B)^T = A^T \otimes B^T$
• 结合律